訊號處理：指數移動平均 (EMA) 濾波器

作者： Mustahsin Zarif 2025-06-25
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工程
嵌入式處理
半導體和開發工具

在訊號處理簡介中已介紹兩種類型的濾波器：有限脈衝響應 (FIR) 和無限脈衝響應 (IIR) 濾波器。移動平均濾波器能以 FIR 和 IIR 形式表示，何者較有優勢呢？

回顧我在部落格舊文章中所舉的例子，展開的 FIR 濾波器為以下形式：

y[5] = (x[5]+x[4]+x[3]+x[2]+x[1]+x[0])/5

在此，我們需要執行

  1. 5 次乘法和
  2. 4 次加法運算

乘法的運算成本特別高。當我們再次查看 IIR 形式時，發現它只需要：

  1. 3 次乘法和
  2. 2 次加法運算

y[6]=(x[6]+y[5]-x[1])/5

這能大幅降低運算成本！這對微控制器等嵌入式裝置而言是一大優勢，因為在每個離散時間步長上執行運算所耗用的資源較少。

例如，在使用 Python 函數 'time.time' 時，針對 FIR 和 IIR 形式的 11 點移動平均濾波器，所有參數 (視窗大小、取樣率、樣本大小等) 相同，分別得到以下執行時間：51 ms、27 ms。

離散時間 IIR 濾波器範例

現在我們已經瞭解 IIR 濾波器在微控制器上表現更好的原因。接著看看使用 Arduino UNO 和 DFRobot MPU6050 慣性量測單元(IMU) (圖1) 的範例專案。將 IMU 資料用於指數移動平均 (EMA) 濾波器，查看原始資料和平滑處理資料之間的差異。

圖 1：MPU6050 與 Arduino Uno 的方塊圖連接。(圖片來源：Mustahsin Zarif)

圖 2：MPU6050 與 Arduino Uno 的連接。 (圖片來源：Mustahsin Zarif)

指數移動平均濾波器為遞歸形式：

y[n] = α*x[n] + (1- α)*y[n-1]

此為遞歸形式，因為當前測量的任何輸出取決於先前的輸出，即系統有記憶。

常數 alpha () 決定我們想要賦予當前輸入相對於當前輸出多大的權重。為了更清楚瞭解，讓我們展開方程式：

y[n] = α*x[n] + (1- α)*(α*x[n−1]+(1−α)*y[n−2])

y[n] = α*x[n] + (1- α)*x[n−1]+α*(1−α)2*x[n−2])+ ...

y[n] = k=0nα*(1−α)k*x[n−k]

可以看到，alpha 越大，當前輸入對當前輸出的影響就越大。這樣很好，因為如果系統持續發展，早期的值就不足以代表當前的系統。另一方面，如果系統突然瞬間異常，情況就會很糟；在這種情況下，我們希望輸出遵循先前輸出的趨勢。

現在，事不宜遲，讓我們看看 EMA 濾波器的程式碼如何為 MPU6050 作業。

EMA 濾波器程式碼：

複製#include <wire.h>
#include <mpu6050.h>

MPU6050 mpu;

#define BUFFER_SIZE 11  // Window size

float accelXBuffer[BUFFER_SIZE];
float accelYBuffer[BUFFER_SIZE];
float accelZBuffer[BUFFER_SIZE];
int bufferCount = 0;  

void setup() {
  Serial.begin(115200);
  Wire.begin();

  mpu.initialize();

  if (!mpu.testConnection()) {
    Serial.println("MPU6050 connection failed!");
    while (1);
  }

  int16_t ax, ay, az;
  for (int i = 0; i < BUFFER_SIZE; i++) {
    mpu.getMotion6(&ax, &ay, &az, NULL, NULL, NULL);
    accelXBuffer[i] = ax / 16384.0;
    accelYBuffer[i] = ay / 16384.0;
    accelZBuffer[i] = az / 16384.0;
  }
  bufferCount = BUFFER_SIZE;
}

void loop() {
  int16_t accelX, accelY, accelZ;

  mpu.getMotion6(&accelX, &accelY, &accelZ, NULL, NULL, NULL);

  float accelX_float = accelX / 16384.0;
  float accelY_float = accelY / 16384.0;
  float accelZ_float = accelZ / 16384.0;

  if (bufferCount < BUFFER_SIZE) {
    accelXBuffer[bufferCount] = accelX_float;
    accelYBuffer[bufferCount] = accelY_float;
    accelZBuffer[bufferCount] = accelZ_float;
    bufferCount++;
  } else {
    for (int i = 1; i < BUFFER_SIZE; i++) {
      accelXBuffer[i - 1] = accelXBuffer[i];
      accelYBuffer[i - 1] = accelYBuffer[i];
      accelZBuffer[i - 1] = accelZBuffer[i];
    }
    accelXBuffer[BUFFER_SIZE - 1] = accelX_float;
    accelYBuffer[BUFFER_SIZE - 1] = accelY_float;
    accelZBuffer[BUFFER_SIZE - 1] = accelZ_float;
  }

//calculate EMA using acceleration values stored in buffer
  float emaAccelX = accelXBuffer[0];
  float emaAccelY = accelYBuffer[0];
  float emaAccelZ = accelZBuffer[0];
  float alpha = 0.2;

  for (int i = 1; i < bufferCount; i++) {
    emaAccelX = alpha * accelXBuffer[i] + (1 - alpha) * emaAccelX;
    emaAccelY = alpha * accelYBuffer[i] + (1 - alpha) * emaAccelY;
    emaAccelZ = alpha * accelZBuffer[i] + (1 - alpha) * emaAccelZ;
  }

  Serial.print(accelX_float); Serial.print(",");
  Serial.print(accelY_float); Serial.print(",");
  Serial.print(accelZ_float); Serial.print(",");
  Serial.print(emaAccelX); Serial.print(",");
  Serial.print(emaAccelY); Serial.print(",");
  Serial.println(emaAccelZ);

  delay(100);
}
</mpu6050.h></wire.h>

執行此程式碼並查看序列繪圖儀時，可以在 X、Y、Z 軸上，看到加速度成對的粗糙和平滑線，使用視窗大小為 11 和 alpha 值為 0.2 (圖 3 至 5)。

圖 3：X 方向的原始和濾波後的加速度值。(圖片來源：Mustahsin Zarif)

圖 4：Y 方向的原始和濾波後的加速度值。(圖片來源：Mustahsin Zarif)

圖 5：Z 方向的原始和濾波後的加速度值。(圖片來源：Mustahsin Zarif)

讓程式碼更有智慧

我們現在知道，相較於 FIR 濾波器，IIR 濾波器更適合用作控制器，因為所需的加法和乘法運算明顯較少。然而，在實作這段程式碼時，加法和乘法並不是唯一執行的運算：每當有新的時間樣本加入，都必須移動樣本，而這個過程在後台都需要運算能力。因此，可採行循環緩衝區，就不用在每個採樣時間間隔內移動所有樣本。

如何實作：使用指標記住傳入資料樣本的索引。然後，每當指標指向緩衝區中的最後一個元素時，接著會指向緩衝區的第一個元素，讓新資料取代原先儲存於此處的資料，因為那些是已不再需要的最舊資料 (圖 6)。這種方式可追蹤緩衝區中最舊的樣本並加以替換，而無須每次都要移動樣本，才能將新資料放入陣列中的最後一個元素。

圖 6：循環緩衝區範例圖。(圖片來源：Mustahsin Zarif)

使用循環緩衝區的 EMA 濾波器實作程式碼。您能嘗試用於陀螺儀而不是加速計嗎？也試看看調一調係數！

使用循環緩衝區程式碼的 EMA 濾波器：

複製#include <wire.h>

#include <mpu6050.h>

MPU6050 mpu;

#define BUFFER_SIZE 11  // Window size

float accelXBuffer[BUFFER_SIZE];

float accelYBuffer[BUFFER_SIZE];

float accelZBuffer[BUFFER_SIZE];

int bufferIndex = 0;  

void setup() {

  Serial.begin(115200);

  Wire.begin();
 

  mpu.initialize();


  if (!mpu.testConnection()) {

    Serial.println("MPU6050 connection failed!");

    while (1);

  }

  int16_t ax, ay, az;

  for (int i = 0; i < BUFFER_SIZE; i++) {

    mpu.getMotion6(&ax, &ay, &az, NULL, NULL, NULL);

    accelXBuffer[i] = ax / 16384.0;

    accelYBuffer[i] = ay / 16384.0;

    accelZBuffer[i] = az / 16384.0;

  }

}

void loop() {

  int16_t accelX, accelY, accelZ;

  mpu.getMotion6(&accelX, &accelY, &accelZ, NULL, NULL, NULL);

  float accelX_float = accelX / 16384.0;

  float accelY_float = accelY / 16384.0;

  float accelZ_float = accelZ / 16384.0;

  accelXBuffer[bufferIndex] = accelX_float;

  accelYBuffer[bufferIndex] = accelY_float;

  accelZBuffer[bufferIndex] = accelZ_float;

  bufferIndex = (bufferIndex + 1) % BUFFER_SIZE; //circular buffer implementation 

  float emaAccelX = accelXBuffer[bufferIndex];

  float emaAccelY = accelYBuffer[bufferIndex];

  float emaAccelZ = accelZBuffer[bufferIndex];

  float alpha = 0.2;

  for (int i = 1; i < BUFFER_SIZE; i++) {

    int index = (bufferIndex + i) % BUFFER_SIZE;

    emaAccelX = alpha  accelXBuffer[index] + (1 - alpha)  emaAccelX;

    emaAccelY = alpha  accelYBuffer[index] + (1 - alpha)  emaAccelY;

    emaAccelZ = alpha  accelZBuffer[index] + (1 - alpha)  emaAccelZ;

  }

  Serial.print(accelX_float); Serial.print(",");

  Serial.print(emaAccelX); Serial.print(",");

  Serial.print(accelY_float); Serial.print(",");

  Serial.print(emaAccelY); Serial.print(",");

  Serial.print(accelZ_float); Serial.print(",");

  Serial.println(emaAccelZ);

  delay(100);

}
</mpu6050.h></wire.h>

結論

本文說明 IIR 和 FIR 濾波器的區別，並針對兩者的運算效率深入討論。比較 FIR 與 IIR 所需作業的數量為例，可以想像當應用擴展時，IIR 濾波器的效率會有多高，這對於硬體能力有限的即時應用而言非常重要。

此外，也研究一個使用 Arduino Uno 和 MPU6050 IMU 的範例專案，部署一個指數移動平均濾波器，以降低感測器資料中的雜訊，同時持續捕捉底層訊號行為。最後，為了提高效率，我們還檢視一個更有智慧的程式碼範例，即採用循環緩衝區，而不是在每個時間間隔移動資料。

在下一篇部落格文章中，將使用 Red Pitaya 的 FPGA 功能，實作 4 分接 FIR 濾波器數位電路！

關於作者

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Electrical Engineering student at The University of California, San Diego.

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