抗交疊低通濾波器基礎知識及其需與 ADC 配對的原因

作者：Art Pini

資料提供者：DigiKey 北美編輯群

2020-03-24

無論是用於 IoT、智慧家庭或是工業控制的基本取樣數據採集系統，一旦未受到保護，都會因為交疊而失準。當類比輸入取樣不足而產生雜散訊號時，便會發生交疊現象。交疊會將頻率高於奈奎斯特頻率 (取樣頻率的一半) 的訊號分量摺回基頻頻譜，使得訊號分量無法與所需訊號分離，從而導致誤差。此外，高於奈奎斯特頻率的雜訊也會混入基頻，降低所需基頻訊號的訊噪比 (SNR)。

要避免交疊，解決辦法是對輸入訊號進行頻帶限制，即將所有輸入訊號分量限制在類比數位轉換器 (ADC) 取樣頻率的一半以下。類比低通濾波器也稱為抗交疊濾波器，這些濾波器可用來實現頻帶限制。而在對頻帶進行限制時，濾波器不能增加訊號失真、雜訊或振幅隨頻率變化。抗交疊低通濾波器設計必須提供快速的滾降與足夠的阻帶衰減，以降低大幅超過奈奎斯特頻率的訊號振幅。

本文將會探討抗交疊低通濾波器的設計標準，以及將其仔細與 ADC 規格匹配的原因和方法。接著會說明如何使用 Analog Devices 的範例元件，透過主動或切換式電容濾波器元素來實作這些濾波器。

什麼是交疊？

當系統以不足的取樣率進行數據採集時，便會發生交疊。若訊號包含的任何頻率大於奈奎斯特頻率，則這些頻率會與轉換器取樣器的取樣頻率混合，並對應到小於奈奎斯特頻率的頻率，從而導致不同的訊號在取樣期間發生混合且彼此無法區分 (即相互交疊) (圖 1)。

圖 1：交疊範例圖。以 2 MS/s 取樣率 (左上) 取樣的 80 kHz 正弦波，沒有交疊現象。但將取樣率降低到 100 kS/s (左下) 時，訊號的頻率會被解讀為 20 kHz。在放大視圖 (右) 中，正確取樣的訊號與交疊的訊號發生了重疊。該跡線上的點顯示了樣本位置。請注意，交疊的訊號使用了一部分正確取樣的數據。(圖片來源：Digi-Key Electronics)

左上格顯示的訊號，是一個以 2 MS/s 取樣的 80 kHz 正弦。在 2 MS/s 下，奈奎斯特頻率為 1 MHz，而訊號頻率遠低於此。左下格顯示取樣率降為 100 kS/s 時的結果。現在，奈奎斯特頻率是 50 kHz，而 80 kHz 正弦的頻率高於奈奎斯特頻率，因而發生交疊現象。

在圖片右側，正確取樣的訊號與交疊的訊號已水平擴展並疊加，且實際樣本以點來顯示。請注意，交疊的訊號包含一部分以 2 MS/s 取樣的訊號樣本。取樣是一種混合作業，此作業的輸出由輸入訊號的總和與差值以及取樣頻率構成。

在 100 kS/s 取樣率和 80 kHz 訊號頻率下，差頻為 20 kHz。在兩種情況下測量的頻率都在顯示格下方。參數讀數 P1 會讀取正確取樣的訊號頻率為 80 kHz，而交疊訊號的頻率為 20 kHz。

設計抗交疊低通濾波器

在設計抗交疊濾波器時，首先需要確定採集系統所需的頻寬。這會設定低通濾波器的截止頻率。濾波器截止頻率通常設定為 -3 dB 或半功率點。在此頻率下，過濾的訊號振幅會降至 DC 處振幅的 0.707。如果採集系統設計需要較平坦的頻率響應，可將截止值定義為更低的衰減值，如 -1 dB。截止頻率振幅越高，抗交疊濾波器的頻率響應滾降就越重要。

在確定採集系統的頻寬後，即可設定取樣率。從理論上講，最小取樣頻率應為採集系統頻寬的兩倍。不過，這個理論限值其實不是一個很好的取樣頻率，這是因為可實現的抗交疊濾波器無法像完美的理論濾波器那樣，突然地衰減高於截止頻率的訊號。這意味著取樣率應更高。這裡需要權衡的是，記憶體需求會隨著取樣頻率升高而增加。在記憶體較昂貴的時代，這讓取樣率盡可能接近奈奎斯特頻率，通常是輸入頻寬的 2.5 倍至 4 倍。而記憶體成本的降低，讓這個需求變得更容易達到，因此取樣率可以更高，甚至可能達到頻寬的 5 或 10 倍。

試想設計一個採集頻寬達到 100 kHz 的超音波感測器。取樣率可以為 500 kHz 至 1 MHz。

現在可以選擇 ADC 了。對於我們這個範例，可選擇取樣率為 1 MS/s 的 12 位元連續漸近轉換器，例如 Analog Devices 的 LTC2365ITS8#TRMPB。其解析度為 12 位元，理論動態範圍為 72 dB。此 ADC 具有出色的動態效能，訊噪及失真比 (SINAD) 規格為 -72 dB，SNR 為 -73 dB，兩者的取樣率皆為 1 MS/s (圖 2)。

圖 2：Analog Devices 的 TC2365ITS8#TRMPB 12 位元連續漸近 ADC 的方塊圖與 SINAD 效能。(圖片來源：Analog Devices)

以 1 MS/s 的取樣率運作時，奈奎斯特頻率為 500 kHz。該 100 kHz 低通濾波器的輸出需具有阻帶衰減，以將高於奈奎斯特的訊號分量降至 ADC 背景雜訊。在本例中，對於 500 kHz 以上的頻率而言，此值超過 -73 dB。

選擇濾波器類型

市面上有很多低通濾波器類型或配置。最常使用的是巴特沃斯、契比雪夫及貝塞爾濾波器。這些濾波器的頻率響應各不相同，並會根據應用提供一些關鍵的差異因素 (圖 3)。

圖 3：巴特沃斯 (灰)、契比雪夫 (藍) 及貝塞爾 (橘) 濾波器的頻率響應比較。濾波器類型的區別在於：通帶平坦度、相位延遲及過渡區斜率。(圖片來源：Digi-Key Electronics)

圖中所示的三個濾波器響應都有其各自的特性。例如，巴特沃斯濾波器的振幅響應平坦度。這意味著，此濾波器在通帶頻率範圍內提供最平坦的增益響應，並在過渡區內提供適度的滾降。

貝塞爾濾波器提供一致的時間延遲，可實現恆定的群延遲。這意味著，此濾波器具有隨頻率變化的線性相位響應和出色的脈衝輸入暫態響應。這個出色的相位響應，是以通帶平坦度以及超出通帶時初始滾降衰減較慢為代價。

契比雪夫濾波器在過渡區的滾降更陡，但在通帶中的漣波更多。採用此濾波器類型的設計，通常都會以特定的最大漣波為基礎。例如，如果截止頻率的振幅限值為 -1 dB，則漣波規格通常會設定為最大 1 dB。

這些濾波器對時域內脈衝的響應，對瞭解如何選擇適當的濾波器類型很有幫助 (圖 4)。

圖 4：濾波器對輸入脈衝的響應 (左上)，顯示出契比雪夫 (右上)、巴特沃斯 (左下) 和貝塞爾 (右上) 濾波器類型在時域脈衝響應方面的差異。(圖片來源：Digi-Key Electronics)

貝塞爾濾波器具有隨頻率變化的線性相位響應，脈衝會以最小的失真度通過，但既沒有巴特沃斯濾波器的振幅平坦度，也沒有契比雪夫濾波器的銳截止特性。選擇何種類型的濾波器需視應用而定：

如果振幅準確度是最重要的關注點，則應選擇巴特沃斯濾波器
如果所需的取樣率接近訊號頻寬，則應選擇契比雪夫濾波器
如果脈衝傳真度是最重要的關注點，則應選擇貝塞爾濾波器

濾波器階數

濾波器階數是指濾波器設計的複雜度。階數與設計所採用的無功元件 (如電容) 數目有關。此外，階數也代表著濾波器傳遞函數中的極點數目。

濾波器的階數會影響過渡區滾降的陡度，從而影響過渡區的寬度。一階濾波器的滾降為 6 dB／倍頻程或 20 dB／十倍頻程。n 階濾波器的滾降率將為 6×n dB／倍頻程或 20×n dB／十倍頻程。因此，八階濾波器的滾降率為 48 dB／倍頻程或 160 dB／十倍頻程。

以先前提到的超音波感測器設計為例，所有高於 100 kHz 的訊號，都需要以 500 kHz 的奈奎斯特頻率，衰減至少 -73 dB。八階濾波器在 500 kHz 下會將訊號衰減約 -98 dB (圖 5)。六階濾波器在 500 kHz 下會將頻外訊號衰減約 -83 dB。因此，對於我們的範例，六階濾波器就已足夠，但是使用八階濾波器可為頻外訊號提供更低的振幅。如果成本相同，則應選擇八階濾波器。稍後探討元件時，我們會更深入闡述這種取捨。

圖 5：比較四階 (藍)、六階 (橘) 和八階 (灰) 濾波器響應的滾降。(圖片來源：Digi-Key Electronics)

濾波器的階數可透過串接多段濾波器來增加。例如兩個二階低通濾波器可串接在一起，變為四階低通濾波器，以此類推。但串接多個主動濾波器的代價是，功耗、成本與尺寸都會增加。

選擇六階或八階濾波器，也取決於所選濾波器元件的配置能力。濾波器 IC 若配置為四路二階濾波器，則可實作一個六階濾波器，但若濾波器 IC 配置為兩個四階濾波器，則只能實作一個八階濾波器。

濾波器元件

抗交疊濾波器若要用於聲頻與超音波頻率，則可透過主動或切換式電容濾波器來實作。一般來說，無論採用哪種類型的濾波器，結果都很類似。若應用採用解析度為 16 位元或以上的超高解析度 ADC 時，使用主動濾波器可能更好，因為出現雜訊的機會較低。而需要時脈訊號的切換式電容濾波器，由於時脈訊號會產生串音，則出現雜訊的機會較高。

Analog Devices 的 LTC1563 系列提供 4 極或四階主動濾波器，可使用單個電阻來控制截止頻率。此系列提供巴特沃斯和貝塞爾類型的濾波器配置。LTC1563-2 是一款採用巴特沃斯配置的 4 極濾波器元件，最大截止頻率為 256 kHz。此濾波器 IC 可透過串接方式來實作八階低通響應 (圖 6)。

圖 6：以兩個 Analog Devices 的 LTC1563-2 元件實作的八階 20 kHz 巴特沃斯濾波器。（圖片來源：Analog Devices)

如果應用需要可變截止頻率，Analog Devices 的 LTC1564IG#TRPBF 是一個不錯的選擇。這款八階低通濾波器的頻寬可使用 4 位元控制匯流排以數位方式進行控制，截止頻率可以 10 kHz 為步階從 10 kHz 變化為 150 kHz。另外，增益也可以數位方式進行編程。此濾波器的動態範圍為 122 dB，適用於解析度為 16 至 20 位元的採集系統 (圖 7)。

圖 7：僅使用兩個 IC 的 16 位元 500 kS/s 採集系統。LTC1564IG#TRPBF 可提供高達 150 kHz 的可變頻寬以及高達 24 dB 的增益。(圖片來源：Analog Devices)

此外，可變截止頻率設計也可使用切換式電容濾波器來實作。Analog Devices 的 LTC1068-25IG#PBF 是一款採用切換式電容的通用型八階低通濾波器，最大截止頻率為 200 kHz。此 IC 由四個二階濾波器基礎要素組成，可串接為八階低通濾波器 (圖 8)。

圖 8：採用 LTC1068-25IG#PBF 切換式電容濾波器的八階低通濾波器。截止頻率透過切換時脈來設定，等於切換時脈頻率除以 32。(圖片來源：Analog Devices)

另外，通用型主動濾波器 IC 也可用於抗交疊。這些 IC 需要更多的元件來設定濾波器特性。Analog Devices 的 LTC1562-2 是一款低雜訊／低失真的四路二階濾波器，可配置為具有低通、高通或帶通響應的巴特沃斯、契比雪夫、橢圓或等漣波延遲響應濾波器。截止頻率可使用電阻值編程為 20 至 300 kHz。三個電阻會對中央頻率、增益和 Q 值進行編程。這個採用四路二階濾波器的濾波器設計可配置為產生二階、四階、六階或八階濾波器。